6.5. Стохастическая теория тестов (IRT)

Наиболее общая теория конструирования тестов, опирающаяся на теорию измерения, — Item Response Theory (IRT). Она основывается на теории латентно-структурного анализа (ЛСА), созданной П. Лазарсфельдом и его после­дователями.

Латентно-структурный анализ создан для измерения латентных (в том числе пси­хических) свойств личности. Он является одним из вариантов многомерного анали­за данных, к которым принадлежат факторный анализ в его различных модификаци­ях, многомерное шкалирование, кластерный анализ и др.

Теория измерения латентных черт предполагает, что:

1. Существует одномерный континуум свойства — латентной переменной (х); на этом континууме происходит вероятностное распределение индивидов с опреде­ленной плотностью f(х).

2. Существует вероятностная зависимость ответа испытуемого на задачу (пункт теста) от уровня его психического свойства, которая называется характеристи­кой кривой пункта. Если ответ имеет две гра­дации («да — нет», «верно — неверно»), то эта функция есть вероятность ответа, завися­щая от места, занимаемого индивидом на кон­тинууме (х).

3. Ответы испытуемого не зависят друг от друга, а связаны только через латентную чер­ту. Вероятность того, что, выполняя тест, ис­пытуемый даст определенную последователь­ность ответов, равна произведению вероятно­стей ответов на отдельные задания.

Конкретные модели ЛСА, применяемые для анализа эмпирических данных, основаны на дополнительных допущениях о плотности распределения индивидов на латентном континууме или о форме функциональной связи уровня выраженности свойства у ис­пытуемого и ответа на пункт теста.

В модели латентного класса функция плотности распределения индивидов явля­ется точечно-дискретной: все индивиды относятся к разным непересекающимся классам. Измерение производится при помощи номинальной шкалы.

В модели латентной дистанции постулируется, что вероятность ответа индивида на пункт текста является мультипликативной функцией от параметров задачи и ве­личины свойства:

Вероятность ответа на пункт теста описывается функцией, изображенной на гра­фике (рис. 6.5).

Модель нормальной огивы есть обобщение модели латентной дистанции. В ней вероятность ответа на задание такова:

В логистической модели вероятность ответа на задание описывается следующей зависимостью:

Логистическая модель используется наиболее широко, так как она специально предназначена для тестов, где свойство измеряется суммированием баллов, полу­ченных за выполнение каждого задания с учетом их весов.

Логистическая функция и функция нормального распределения тесно связаны:

Развитием ЛСА являются различные модификации Item Response Theory. В IRT распределения переменных на оси латентного свойства непрерывны, т.е. модель ла­тентного класса не используется.

База для IRT— это модель латентной дистанции. Предполагается, что и индиви­дов, и задания можно расположить на одной оси «способность — трудность» или «интенсивность свойства — сила пункта». Каждому испытуемому ставится в соот­ветствие только одно значение латентного параметра («способности»).

В общем виде вероятность ответа зависит от множества свойств испытуемого, но в моделях IRT рассматривается лишь одномерный случай.

Главное отличие IRT от классической теории теста в том, что в ней не ставятся и не решаются фундаментальные проблемы эмпирической валидности и надежности теста: задача априорно соотносится лишь с одним свойством, т.е. тест заранее счи­тается валидным. Вся процедура сводится к получению оценок параметров трудности задания и к измерению «способностей» испытуемых (образованию «характери­стических кривых»).

В классической теории теста индивидуальный балл (уровень свойства) считает­ся некоторым постоянным значением. В IRT латентный параметр трактуется как непрерывная переменная.

Первичной моделью в IRT стала модель латентной дистанции, предложенная Г. Рашем: [Rasch G., 1980]: разность уровня способности и трудности теста xi – bi, где хi — положение i-ro испытуемого на шкале, а bj  — положение j-го задания на той же шкале. Расстояние (xi – bi) характеризует отставание способности испытуе­мого от уровня сложности задания. Если разница велика и отрицательна, то задание не может быть выполнено, так как для данного испытуемого оно слишком сложно. Если же разница велика и положительна, то задание также не информативно, ибо испытуемый заведомо легко и правильно его решит.

Вероятность правильного решения задания (или ответа «да») i-м испытуемым:

Вероятность выполнения j-го задания группой испытуемых:

В IRT функции х и f(b) называются функциями выбора пункта. Соответственно первая является характеристической функцией испытуемого, а вторая — характе­ристической функцией задания.

Считается, что латентные переменные х и b нормально распределены, поэтому для характеристически функций выбирают либо логистическую функцию, либо ин­тегральную функцию нормированного нормального распределения (как мы уже от­метили выше, они мало отличаются друг от друга).

Поскольку логистическую функцию проще аналитически задавать, ее использу­ют чаще, чем функцию нормального распределения.

Кроме «свойства» и «силы пункта» (она же — трудность задания) в аналитиче­скую модель IRT могут включаться и другие переменные. Все варианты IRT класси­фицируются по числу используемых в них переменных.

Наиболее известны однопараметрическая модель Г. Раша, двухпараметрическая модель А. Бирнбаума и его же трехпараметрическая модель.

В однопараметрической модели Раша предполагается, что ответ испытуемого обусловлен только индивидуальной величиной измеряемого свойства (qi) и «силой» тестового задания (bj). Следовательно, для верного ответа («да»)

и для неверного ответа («нет»)

Наиболее распространена модель Раша с логистической функцией отклика.

Для тестового задания:

Для испытуемого:

Естественно, чем выше уровень свойства (способности), тем вероятнее получить правильный ответ («ключевой» ответ — «да»). Следовательно, функция  явля­ется монотонно возрастающей.

В точке перегиба характеристической кривой i-го задания теста «способность» равна «трудности задания», следовательно, «вероятность его решения» равна 0,5 (рис. 6.6).

Очевидно, что индивидуальная кривая испытуемого, характеризующая вероят­ность решить то или иное задание (дать ответ «да»), будет монотонно убывающей функцией(рис. 6.7).

В точке на шкале, где «трудность» равна «индивидуальной способности испытуе­мого», происходит перегиб функции. С ростом «способности» (развитием психоло­гического свойства) кривая сдвигается вправо.

Главной задачей IRT является шкалирование пунктов теста и испытуемых.

Упростим исходную формулу модели, введя параметр V = eqi-bi:

Шанс на успех i-го испытуемого при решении j-го задания определяется отноше­нием:

Если сравнить шансы двух испытуемых решить одно и то же j-е задание, то это отношение будет следующим:

Следовательно, разница в успешности задания испытуемыми не зависит от слож­ности задания и определяется лишь уровнем способности.

Нетрудно заметить, что в модели Раша отношение трудности заданий не зависит от способности испытуемых. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно проде­лать аналогичные простейшие преобразования, сравнивая вероятности ответов группы на два пункта теста, а не вероятности ответов разных испытуемых.

Следовательно,

Для сравнения шансов на успех i-го испытуемого решить задания k и п берем отношение:

Тем самым отношение шансов испытуемого решить два разных задания опреде­ляется лишь трудностью этих заданий.

Обратим внимание, что шкала Раша (в теории) является шкалой отношений. Теперь у нас есть возможность ввести единицу измерения способности (в общем виде — свойства). Если взять натуральный логарифм от ebn – bk или еqi – qm, то получа­ется единица измерения «логит» (термин ввел Г. Раш), которая позволяет измерить и «силу пункта» (трудность задания), и величину свойства (способность испытуе­мого) в одной шкале.

Эмпирически эта процедура производится следующим образом. Предполагается, что данные тестирования и значения латентных переменных характеризуются нормальным распределением. Уровень «способности» ис­пытуемого в «логитах» определяется на шка­ле интервалов с помощью формулы:

где п — число испытуемых, рi — доля пра­вильных ответов i-го испытуемого на задания теста, qi. — доля неправильных ответов,

Для первичного определения трудности задания в логитах используют оценку

pj + qj = 1.

Хотя параметры b и q  изменяются от «плюса» до «минуса», то при b –6 значе­ния рi близки к единице, т. е. на эти задания практически каждый испытуемый дает правильный («ключевой») ответ. При b 6 с заданием не сможет справиться ни один испытуемый, точнее — вероятность дать «ключевой» ответ ничтожна.

Рекомендуется рассматривать лишь интервалы от –3 до +3 как для b (трудно­сти), так и для q (способность).

Второй этап шкалирования испытуемых и заданий сводится к тому, что шкалы преобразуются в единую шкалу путем «уничтожения» влияния трудности задания на результат индивидов. И к тому же элиминируется влияние индивидуальных спо­собностей на решение заданий различной трудности.

Для шкалы испытуемых:

где

b — среднее значение логитов трудности заданий теста, W — стандартное отклоне­ние распределения начальных значений параметра b , п — число испытуемых.

Для шкалы заданий:

где

`q — среднее значение логитов уровней способностей, V— стандартное отклоне­ние распределения начальных значений «способности», п — число заданий в тесте.

Эти эмпирические оценки используются в качестве окончательных характери­стик измеряемого свойства и самого измерительного инструмента (заданий теста).

Если перед исследователем стоит задача конструирования теста, то он присту­пает к получению характеристических кривых заданий теста. Характеристические кривые могут накладываться одна на другую. В этом случае избыточные задания выбраковываются. На определенных участках оси q («способность») характеристи­ческие кривые заданий могут вовсе отсутствовать Тогда разработчик теста должен добавить задания недостающей трудности, чтобы равномерно заполнить ими весь интервал шкалы логитов от –6 до +6. Заданий средней трудности должно быть боль­ше, чем на «краях» распределения, чтобы тест обладал необходимой дифференциру­ющей (различающей) силой.

Вся процедура эмпирической проверки теста повторяется несколько раз, пока разработчик не останется доволен результатом работы. Естественно, чем больше заданий, различающихся по уровню трудности, предложил разработчик для первич­ного варианта теста, тем меньше итераций он будет проводить.

Главным недостатком модели Раша теоретики считают пренебрежение «крутиз­ной» характеристических кривых «крутизна» их полагается одинаковой.

Задания с более «крутыми» характеристическими кривыми позволяют лучше «различать» испытуемых (особенно в среднем диапазоне шкалы способностей), чем задания с более «пологими» кривыми.

Параметр, определяющий «крутизну» характеристических кривых заданий, на­зывают дифференцирующей силой задания. Он используется в двухпараметриче­ской модели Бирнбаума.

Модель Бирнбаума аналитически описывается формулой

Параметр aj определяет «крутизну» кривой в точке ее перегиба; его значение прямо пропорционально тангенсу угла наклона касательной к характеристической кривой задания теста в точке  (рис 6.8).

Интервал изменения параметра aj от – до +. Если значения a близки к 0 (для заданий разной трудности), то испытуемые, различающиеся по уровню выраженно­сти свойства, равновероятно дают «ключевой» ответ на это задание теста. При вы­полнении такого задания у испытуемых не обнаруживается различий.

Парадоксальный вариант получаем при a 0. В этом случае более способные испытуемые отвечают правильно с меньшей вероятностью, а менее способные — с большей вероятностью. Опытные психодиагносты знают, что такие случаи встре­чаются в практике тестирования очень часто.

Ф. М. Лорд и М. Новик в своей классической работе [Lord F. M., Novik M., 1968] приводят формулы оценки параметра a. При aj = 1 задание соответствует однопара­метрической модели Раша. Практики рекомендуют использовать задания, характе­ризующие значение a   в интервале от 0,5 до 3.

Все психологические тесты можно разделить в зависимости от формального типа ответов испытуемого на «открытые» и «закрытые». В тестах с «открытым» ответом, к которым относятся тест WAIS Д. Векслера или методика дополнения предложе­ний, испытуемый сам порождает ответ. Тесты с «закрытыми» заданиями содержат варианты ответов. Испытуемый может выбрать один или несколько вариантов из предлагаемого множества. В тестах способностей (тест Дж. Равена, GABT и др.) предусмотрено несколько вариантов неправильного решения и один правильный. Испытуемый может применить стратегию угадывания. Вероятность угадывания ответа:

где п — число вариантов.

Результаты эмпирических исследований показали, что относительная частота решения «закрытых» заданий отклоняется от теоретически предсказанных вероят­ностей двухпараметрической модели Бирнбаума. Чем ниже уровень способностей испытуемого (низкие значения параметра q), тем чаще он прибегает к стратегии уга­дывания. Аналогично, чем труднее задание, тем больше вероятность того, что испы­туемый будет пытаться угадать правильный ответ, а не решать задачу.

Бирнбаум предложил трехпараметрическую модель, которая позволила бы учесть влияние угадывания на результат выполнения теста.

Трехпараметрическая модель Бирнбаума выглядит так:

Соответственно оценка «силы» пункта (трудности задания) в логистической фор­ме модели

Сj  характеризует вероятность правильного ответа на задание j в том случае, если испытуемый угадывал ответ, а не решал задание, т.е. при q — 0. Для заданий с пя­тью вариантами ответов Сj становится более пологой, так как 0 С 1, но при всех С= 0 кривая поднимается над осью q  на величину Сj . Тем самым даже самый неспо­собный испытуемый не может показать нулевой результат. Дифференцирующая сила тестового задания при введении параметра Сj снижается. Из этого следует не­тривиальный вывод: тесты с «закрытыми» заданиями (вынужденным выбором ответа) хуже дифференцируют испытуемых по уровням свойства, чем тесты с «открыты­ми» заданиями.

Модель Бирнбаума не объясняет парадоксального, но встречающегося в практи­ке тестирования феномена: испытуемый может реже выбирать правильный ответ, чем неправильный. Таким образом, частота решения некоторых заданий может не соответствовать предсказаниями модели Рj Сj, тогда как, согласно модели Бирн­баума, в пределе Рj = Сj.

Рассмотрим еще одну модель, которую предложил В. С. Аванесов. Как мы уже заметили, в IRT не решается проблема валидности: успешность решения задачи за­висит в моделях IRT только от одного свойства. Иначе говоря, каждое задание теста считается априорно валидным.

Аванесов обратил внимание на это обстоятельство и ввел дополнительный, чет­вертый, параметр, который можно обозначить как внутреннюю валидность задания. Успешность решения задания определяется не только «основной» способностью (q), но и множеством условий, нерелевантных заданию, однако влияющих на деятель­ность испытуемого.

Четырехпараметрическая модель представляет, по мнению ряда исследователей, лишь теоретический интерес:

где gj — валидность тестового задания.

Если gj 1, то тест не является абсолютно валидным. Следовательно, вероят­ность решения задания не только определяется теоретически выделенным свой­ством, но и зависит от других психических особенностей личности.

Бирнбаум считает, что количество информации, обеспеченное j-м заданием тес­та, при оценивании qj является величиной, обратно пропорциональной стандартной ошибке измерения данного значения qj j-м заданием. Более подробно вычисление информационной функции рассмотрено в работе М. Б. Челышковой [Челышкова М.Б., 1995].

Многие авторы, в частности Пол Клайн [Клайн П., 1994], отмечают, что IRT об­ладает множеством недостатков. Для того чтобы получить надежную и не зависи­мую от испытуемых шкалу свойств, требуется провести тестирование большой вы­борки (не менее 1000 испытуемых). Тестирование достижений показывает, что су­ществуют значительные расхождения между предсказаниями модели и эмпиричес­кими данными.

В 1978 г. Вуд [цит. по: Клайн П., 1994] доказал, что любые произвольные данные могут быть приведены в соответствие с моделью Раша. Кроме того, существует очень высокая корреляция шкал Раша с классическими тестовыми шкалами (около 0,90).

Шкалирование, по мнению Раша, способно привести к образованию бессмыслен­ных шкал. Например, попытка применить его модель к опроснику EPQ Айзенка по­родила смесь шкал N, Е, Р и L.

Главный же недостаток IRT — игнорирование проблемы валидности. В психоло­гической практике не наблюдается случаев, когда ответы на задания теста были бы обусловлены лишь одним фактором. Даже при тестировании общего интеллекта модели IRT неприменимы.

Клайн рекомендует использовать модели IRT для коротких тестов с валидными заданиями (факторно простые тесты).

В пособии Клайна «Справочное руководство по конструированию тестов» (Киев, 1994) приведен алгоритм конструирования тестов на основе модели Раша.

В заключение рассмотрим вероятностную модель тестов «уровня» Ф. М. Юсупо­ва [Дружинин В. Н., 1998], аспиранта лаборатории психологии способностей Ин­ститута психологии РАН. Его модель разработана для тестов с «закрытыми» задани­ями (выбором ответов из множества), различающимися по уровню трудности. В «закрытых» тестах испытуемый может применить стратегию «угадывания» отве­та. Вероятность угадывания

где т — число альтернатив.

Сложность тестового задания

где п — число испытуемых, способных решить задание, N — общее количество ис­пытуемых в выборке валидизации.

При W Р невозможно определить, решена задача случайно или закономерно. Предполагается, что биноминальное распределение вероятности успешного выпол­нения тестового задания при больших N аппроксимируется нормальным.

Должны выполняться следующие условия:

1. Правильный ответ выбирается неслучайно, если:

— его экспериментально полученная частота больше 1 /т;

— это превышение статистически значимо;

— оценивать его можно с помощью t-критерия Стьюдента.

2. Все ложные варианты ответов должны выбираться не чаще, чем случайные:

q = nj/N 1/m,

где пj — частота выбора неверного ответа.

Тем самым тестовое задание стимулирует испытуемого к выбору правильного от­вета.

3. В тестах «уровня» диапазон изменения показателя сложности 0W1 должен быть уменьшен «слева» на величину W', значимо отличающуюся от W, в которой t = tкр. (t — критерий Стьюдента). Чем больше вариантов ответов в тесте, тем меньше Wu шире область допустимых значений показателя сложности тестово­го задания. Например, для N = 100, a = 0,05 (tкр = 1,90) и 10 т 3 расчет по­казывает, что уже при т 6 скорость расширения области значений показателя сложности значимо замедляется. Поэтому рекомендуется выбирать 6–10 вари­антов ответа.

В тесте «уровня» число градаций сложности и число заданий связано. Чем точ­нее оценка свойства, тем больше число градаций. Но это влечет снижение достовер­ности измерения, так как длина теста (число заданий) ограничена. Уменьшение чис­ла градаций приведет к нивелированию различий между испытуемыми.

Предельно возможное число заданий в тесте выбирается при условии, что разли­чие в уровне их сложности гарантируется с выбранной вероятностью.

Поскольку дисперсия биноминального распределения максимальная в центре ин­тервала 0—1 и уменьшается к периферии до 0, шаг градаций сложности на разных участках этого интервала будет различным: на периферии он должен стремиться к нулю.

Удобно принять в качестве шага градации сложности 1/10 интервала. Для a = 0,05, N = 100 получается 7 значений показателя сложности, что при шаге, рав­ном 0,1, гарантирует различение между уровнями с вероятностью 0,9.

Если учесть условие минимизации случайного выбора правильного ответа, то число градаций сложности должно быть еще меньше. Например, при 6 вариантах ответа число заданий разного уровня сложности не может быть больше 6.

Эти выводы верны в том случае, если биноминальное распределение аппрокси­мируется нормальным распределением. При большом числе испытуемых такая ап­проксимация возможна.

Расчеты показывают, что минимально необходимый объем выборки для апроба­ции тестовых заданий не так уж и велик — 56 человек при достоверности 0,9.

Следовательно, исходя из вероятностной модели теста и не прибегая к допуще­ниям о моделях тестирования, можно рассчитать параметры теста как предельные характеристики, обеспечивающие достоверность измерения.

Вопросы

1. Какие основные типы шкалы используются в психологических исследованиях?

2. В чем состоят отличия классической модели теста от теории выбора ответа (IRT)?

3. Что такое «логит»?

4. Каким должно быть число уровней трудности заданий в тесте?

5. В каких случаях применяется шкалограммный анализ?

Оглавление